a、b均为正数,且1/a+1/b=1,证明:对任意n属于正整数,有(a+b)^n-a^n-b^n >=2^(2n)-2^(n+1)成立.
题目
a、b均为正数,且1/a+1/b=1,证明:对任意n属于正整数,有(a+b)^n-a^n-b^n >=2^(2n)-2^(n+1)成立.
答案
1/a+1/b=1
ab = a+b ≥2√ab
√ab ≥2
ab-a-b = 0
ab-a-b+1 = (a-1)(b-1) = 1
(a+b)^n-a^n-b^n +1
=(a^n-1)(b^n-1)
= (a-1)(b-1) (a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1)(b^(n-1)+b^(n-2)+...+b+1)
= (a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1)(b^(n-1)+b^(n-2)+...+b+1)
≥ [(ab)^(n-1)/2 + (ab)^(n-2)/2+...+ab^(1/2)+1]^2
≥[2^(n-1)+2^(n-2)+...+2+1]^2
= (2^n-1)^2
= 2^(2n)-2^(n+1) +1
(a+b)^n-a^n-b^n ≥ 2^(2n)-2^(n+1)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 一辆汽车从上海到北京需15小时,平均每小时行全程的几分之几?已行9小时,还剩全程的几分之几?
- 圆弧的面积怎么算?
- a、b互为相反数,c、d互为倒数,求a+b/5+3/4cd的值.
- 读《滴水石穿的启示》有感
- 甲和乙一共135,甲的二分之一等于乙的三分之一,甲和乙各是多少
- 在显微镜下,人体内一种细胞形状取近似地看成圆,它的直径约为1.6×10的负六次方米,问这种细胞的面积?(π取3!
- 在平面直角坐标系中,已知A(-4,0),点B(2,0),△ABC的面积为12,求出点C的坐标.
- 改变自己 改变世界的话题作文怎么写
- 如图,E、D分别是AC、AB上的一点,∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M,∠BED、∠EDC的角平分线交于N. 求证:A、M、N在一条直线上.
- Li Ming and Li Lei are the same age(同意句转换)