设a,b,c,d属于正实数,用柯西不等式证明(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd

题目

设a,b,c,d属于正实数,用柯西不等式证明(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
柯西不等式:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2

答案

方法一、直接用基本不等式：对于正数x、y,有：x+y≥2√xy,则：
(ab+cd)(ac+bd)≥2√(abcd)×2√(acbd)=4abcd
方法二、由柯西不等式,得：
(ab+cd)(ac+bd)
≥[√ab×√ac+√cd×√bd]²
=[(√bc)(a+d)]²
=bc(a+d)²
≥bc×(2√ad)²
=4abcd