过椭圆x²、5＋y²、4＝1的右焦点作直线l与椭圆交于AB两点,若弦长AB＝5/3根号5,则直线l的斜率是

题目

过椭圆x²、5＋y²、4＝1的右焦点作直线l与椭圆交于AB两点,若弦长AB＝5/3根号5,则直线l的斜率是
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答案

椭圆方程为：x^2/5+y^2/4=1,
c=1,
右焦点坐标F2（1,0）,
设直线方程为：y=k(x-1),
设交点A（x1,y1),B(x2,y2),
x^2/5+k^2(x-1)^2/4=1,
(4+5k^2)x^2-10k^2x+5k^2-20=0,
根据韦达定理,
x1+x2=10k^2/(4+5k^2),
x1x2=(5k^2-20)/(4+5k^2),
根据弦长公式,
|AB|=√（1+ k^2)(x1-x2)^2
=√（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√（1+k^2)[(320k^2+320)/(4+5k^2)^2]
=8√5（1+k^2)/(4+5k^2)
8√5（1+k^2)/(4+5k^2)=5√5/3,
∴k=±2,直线l的斜率是±2.