我们规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac=b，那么（a，b）=c． 例如（2，8）=3．试说明下面的结论． 对于任意自然数n，那么（3n，4n）=（3，4）；（3，4）+（3，5）=

题目

我们规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a^c=b，那么（a，b）=c．
例如（2，8）=3．试说明下面的结论．
对于任意自然数n，那么（3ⁿ，4ⁿ）=（3，4）；（3，4）+（3，5）=（3，20）．

答案

证明：（1）设（3ⁿ，4ⁿ）=x，
∴（3ⁿ）^x=4ⁿ，
∴3^x=4，
∴（3ⁿ，4ⁿ）=（3，4）；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，
∵3^x=4，
∴3^y=5．
∴3^x×3^y=20，
∴3^x+y=20，
∴（3，20）=x+y，
∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．