求直线x+2y-z+1=0 3x-2y+z-1=0在平面x+y+z-3=0上的投影直线方程.

题目

求直线x+2y-z+1=0 3x-2y+z-1=0在平面x+y+z-3=0上的投影直线方程.
前面两个方程为直线方程组形式.
x/3=(y-2/3)/0=(z-7/3)/-3

答案

x+y+z-3=0的法向量为(1,1,1)
过直线x+2y-z+1=0 3x-2y+z-1=0的平面系方程为
x+2y-z+1+k(3x-2y+z-1)=0
即(1+3k)x+(2-2k)y+(k-1)z+1-k=0 (1)
法向量为(1+3k,2-2k,k-1)
若该法向量与(1,1,1)垂直
则(1+3k)*1+(2-2k)*1+(k-1)*1=0
即2k+2=0
k=-1
代入(1) x+2y-z+1-(3x-2y+z-1)=0
即-2x+4y-2z+2=0
即x-2y+z-1=0
该平面与平面x+y+z-3=0的交线就是投影直线
∴直线就是x-2y+z-1=0,x+y+z-3=0
也可化成较简单的形式y=2/3,x+z=7/3