求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离的乘积是一个定值.

题目

求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离的乘积是一个定值.

答案

x²/a²-y²/b²=1
渐近线y=±b/ax
即bx+ay=0和bx-ay=0
假设双曲线上的点P(m,n)
令m=asec²θ
则y²/b²=sec²θ-1=tanx06θ
y=btanθ
P(asecθ,btanθ)
所以到两渐近线距离的积=
[|absecθ+abtanθ}/√(a²+b²)]*[|absecθ-abtanθ}/√(a²+b²)]
=a²b²|(secθ+tanθ)(secθ-tanθ)|/(a²+b²)
=a²b²|sec²θ-tan²θ|/c²
=a²b²|1|/c²
=a²b²/c²
所以是定值