已知O为坐标原点,A(cosα,sinα),α∈R,|OB向量|=2,MN向量=(1-t)OA向量—OB向量,t∈R,当|向量MN|取得最小值时t=t0,t∈(1,2),求向量OA与向量OB的夹角θ的

题目

已知O为坐标原点,A(cosα,sinα),α∈R,|OB向量|=2,MN向量=(1-t)OA向量—OB向量,t∈R,当|向量MN|取得最小值时t=t0,t∈(1,2),求向量OA与向量OB的夹角θ的取值范围

答案

已知O为坐标原点,A(cosα,sinα),α∈R,|OB向量|=2,MN向量=(1-t)OA向量—OB向量,t∈R,当|向量MN|取得最小值时t=t0,t∈(1,2),求向量OA与向量OB的夹角θ的取值范围
OA=(cosα,sinα),故︱OA︱=1；∵︱OB︱=2,故可设OB=(2cosβ,2sinβ)；
MN=(1-t)OA-OB=((1-t)cosα-2cosβ,(1-t)sinα-2sinβ)
︱MN︱=√{[(1-t)cosα-2cosβ]²+[(1-t)sinα-2sinβ)]²}
=√[(1-t)²(cos²α+sin²α)-4(1-t)(cosαcosβ+sinαsinβ)+4(cos²β+sin²β)]
=√[(1-t)²-4(1-t)cos(α-β)+4]=√{[(1-t)-2cos(α-β)]²-4cos²(α-β)+4}≧√[4(1-cos²(α-β)]=2︱sin(α-β)︱
当1-t=2cos(α-β),即t=1-2cos(α-β)=to时︱MN︱获得最小值2︱sin(α-β)︱.
OA与OB的夹角为θ,则cosθ=(OA•OB)/[︱OA︱︱OB︱]=(2cosαcosβ+2sinαsinβ)/2=cos(α-β)
=(1-t)/2,1