求函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx.x∈(0,π3)的最大值并求出相应的x值.

求函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx.x∈(0,π3)的最大值并求出相应的x值.

题目
求函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx.x∈(0,
π
3
)的最大值并求出相应的x值.
答案
设t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),
∵x∈(0,
π
3
),
(x+
π
4
)
(
π
4
12
)
t∈(1,
2
]
,则sinxcosx=
t2-1
2

∴函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx=
1
2
t2+t-
1
2
=
1
2
(t+1)2-1

∴函数f(x)在(1,
2
)单调递增,
∴当t=
2
,即sin(
π
4
+x)=1时,
函数f(x)有最大值
2
-
1
2
.     
此时,x=
π
4
设t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),由 x∈(0,
π
3
),可得(x+
π
4
)
(
π
4
12
)
t∈(1,
2
]
,sinxcosx=
t2−1
2
.于是函数f(x)=
1
2
t2+t−
1
2
,再利用二次函数的单调性即可得出.

三角函数的最值.

本题考查了三角函数的同角基本关系式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性,考查了换元法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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