求函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx.x∈(0,π3)的最大值并求出相应的x值.
题目
求函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx.x∈(0,
)的最大值并求出相应的x值.
答案
设t=sinx+cosx=
sin(x+
),
∵x∈(0,
),
∴
(x+)∈
(,),
t∈(1,],则sinxcosx=
.
∴函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx=
t2+t-=
(t+1)2-1,
∴函数f(x)在(1,
)单调递增,
∴当t=
,即sin(
+x)=1时,
函数f(x)有最大值
-.
此时,
x=.
设t=sinx+cosx=
sin(x+
),由 x∈(0,
),可得
(x+)∈
(,),
t∈(1,],sinxcosx=
.于是函数f(x)=
t2+t−,再利用二次函数的单调性即可得出.
三角函数的最值.
本题考查了三角函数的同角基本关系式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性,考查了换元法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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