水以20m^3/min的速度流入一个圆锥形容器中,已知容器深30m,上底直径12m,求当水深h为10m时,水面上升的速度.

题目

水以20m^3/min的速度流入一个圆锥形容器中,已知容器深30m,上底直径12m,求当水深h为10m时,水面上升的速度.
圆锥是倒过来的.

答案

速度 v(t)为高度H(t)的导数H'(t)
体积 V(t) = 20t
底面积 S(t) = pi *(H(t)* 6/30)^2 = H(t)*H(t)*pi/25
V(t)=S(t)*H(t)/3
20t = H(t)^3*pi/75
H(t) = (1500t/pi)^(1/3)
v(t) = H'(t) = (1500t/pi)^(-2/3)*500/pi
H(t) = 10时; t=2*pi/3
v(t) = 5/pi m/min