急,证明不等式

题目

急,证明不等式
求证a＞0,b＞0,c＞0,a+b+c=1求证ab+bc+ac≤1/3

答案

证明：显然(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0,
展开,整理得a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca（这其实是一个很常见的结论,要熟悉!）
于是(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2ab+2bc+2ca≥(ab+bc+ca)+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)
又a+b+c=1,代入上式可得1≥3(ab+bc+ca)
故：ab+bc+ac≤1/3 ,当且仅当a=b=c时等号成立,证毕!
PS.a＞0,b＞0,c＞0的条件是多余的!