证明函数f（x）=x+4/x在区间（0，2]上是减函数．

题目

证明函数f（x）=x+

4

x

答案

证明：设∀x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂≤2，
f(x1)−f(x2)＝(x1+

4

x1

)−(x2+

4

x2

)=(x1−x2)+

4(x2−x1)

x1x2

=(x1−x2)(1−

4

x1x2

)，
∵0＜x₁≤2，0＜x₂≤2，x₁＜x₂，
∴0＜x₁x₂＜4，∴

1

x1x2

＞

1

4

，∴

4

x1x2

＞1，
∴1−

4

x1x2

＜0，且x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（0，2]上为减函数．