直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD+BC＜DC,若腰DC上有一点P,使AP⊥BP,则这样的点有（ ）个.对于这个问题我就是不明白为什么当AD+BC＜DC时,一AB为直径的圆会与CD相交

题目

直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD+BC＜DC,若腰DC上有一点P,使AP⊥BP,则这样的点有（ ）个.对于这个问题我就是不明白为什么当AD+BC＜DC时,一AB为直径的圆会与CD相交.当AD+BC=DC时,一AB为直径的圆会与CD相切.当AD+BC＞DC时,一AB为直径的圆会与CD相离.

答案

为了更好地说明你所提出的问题,现在先分析圆与CD相切的情况.
∵AP⊥BP,∴P在以AB为直径的圆上,令圆心为O.
∵CD切⊙O于点P,∴OP⊥CD,∴P是CD上离点O最近的点.
∵AD∥BC、∠B＝90°,∴∠A＝90°,∴AD切⊙O于点A、BC切⊙O于点B,
∴由切线长定理,有：AD＝DP、BC＝CP,∴AD＋BC＝DP＋CP＝DC.
∴当AD＋BC＝DC时,⊙O与CD相切.
于是：
　　当AD＋BC＜DC时,可理解为将DC由与⊙O相切时的位置向圆心方向平移,这样,⊙O与DC自然就相交了.
　　当AD＋BC＞DC时,可理解为将DC由与⊙O相切时的位置背圆心方向平移,这样,⊙O与DC自然就相离了.