设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．

题目

设x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的两个实根，当m为何值时，x₁²+x₂²有最小值，并求这个最小值．

答案

∵x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的两个实根，
∴△=（-4m）²-4×2×（2m²+3m-2）≥0，可得m≤

2

3

，
又x₁+x₂=2m，x₁x₂=

2m2+3m−2

2

，
∴x₁²+x₂²=2( m−

3

4

) 2+

7

8

=2(

3

4

−m)2+

7

8

，
∵m≤

2

3

，
∴

3

4

-m≥

3

4

-

2

3

＞0，
∴当m=

2

3

时，x₁²+x₂²取得最小值为2×(

3

4

−

2

3

) 2+

7

8

=

8

9

．