设函数f(x)=exx, (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若k>0,求不等式f′(x)+k(1-x)f(x)>0的解集.
题目
设函数f(x)=
,
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若k>0,求不等式f′(x)+k(1-x)f(x)>0的解集.
答案
(1)∵f(x)=
∴
f′(x)=−ex+ex=ex由f'(x)=0,得x=1,
因为当x<0时,f'(x)<0;
当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0;
所以f(x)的单调增区间是:[1,+∝);单调减区间是:(-∞,0),(0,1]
(2)由f'(x)+k(1-x)f(x)=
ex=
ex>0,
得:(x-1)(kx-1)<0,
故:当0<k<1时,解集是:{x|1<x<
};
当k=1时,解集是:φ;
当k>1时,解集是:{x|
<x<1}.
(1)对函数f(x)进行求导,当导数大于0时是单调递增区间,当导数小于0时是原函数的单调递减区间.(2)将f'(x)代入不等式即可求解.
函数的单调性及单调区间;简单复合函数的导数;不等式.
本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题.当导数大于0时原函数单调递增,当导数小于0时原函数单调递减.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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