已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值为_.
题目
已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值为______.
答案
∵等比数列{a
n}的各项均为不等于1的正数,
数列{b
n}满足b
n=lna
n,b
3=18,b
6=12,
∴a
3=a
1q
2=
eb3=e
18,
a6=a1q5=
eb6=e
12,
∴
=q
3=
=e
-6,
解得q=e
-2,a
1=
=
=e
22,
∴{a
n}的通项公式为
an=e22•(e−2)n−1=e
24-2n,
∵数列{b
n}满足b
n=lna
n,
bn=lne24−2n=24-2n,
当n=12时,b
n=0
则当n≥12时,b
n<0
∴{b
n}的前n项和S
n取最大值时,n=12,
∴S
n的最大值是S
12=
(b1+b12)=6(24-2+24-24)=132.
故答案为:132.
举一反三
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