已知abc为正数,求证根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2大于根号2(a+b+c)

题目

已知abc为正数,求证根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2大于根号2(a+b+c)

答案

2(a²+b²)>=a²+b²+2*a*b=(a+b)²
a²+b²>=(a+b)²/2
√(a²+b²)>=√[(a+b)²/2]=(a+b)/√2
同理
√(b²+c²)>=(b+c)/√2
√(a²+c²)>=(a+c)/√2
所以
√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(a²+c²)>=(a+b)/√2+(b+c)/√2+(a+c)/√2=2(a+b+c)/√2=√2(a+b+c)
得证
注意a=b=c时可以去等号的,所以应该是大于等于