已知a>0,b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4

题目

已知a>0,b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4

答案

(＊)←[a²＋1][b²＋1]≥(25/4)ab←a²b²＋a²＋b²＋1≥(25/4)ab←a²b²＋(a＋b)²＋1≥(33/4)ab←a²b²－(33/4)ab＋2≥0←4(ab)²－33ab＋8≥0←(4ab－1)(ab－8)≥0
由1=a＋b≥2√ab,则ab≤1/4,从而4ab－1≤0且ab－8≤0,从而(4ab－1)(ab－8)≥0.从而原不等式成立.