四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=22AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.
题目
四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且
EF=AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.
答案
证明:取CD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,
∴EG
AC;FG
BD,又AC=BD,∴
FG=AC,
∴在△EFG中,
EG2+FG2=AC2=EF2∴EG⊥FG,∴BD⊥AC,又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,
∴BD⊥平面ACD.
欲证BD⊥平面ACD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面ACD内两相交直线垂直,取CD的中点G,连接EG,FG,根据勾股定理可证得EG⊥FG,又BD⊥CD,AC∩CD=C,结论得证.
直线与平面垂直的判定.
本题主要考查了直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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