怎么证明n次的根号下n的极限等于1?

题目

怎么证明n次的根号下n的极限等于1?
我是大一的 希望能用简单的方法解决 极限初步的知识

答案

求证：lim(n->∞) n^(1/n) = 1
证明：
令：t = n^(1/n) - 1 > 0 ,则：
n=(1+t)^n=1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n > n(n+1)t^2/2
∴ t^2 < 2/(n+1)
因此：
0 < t = n^(1/n) - 1 < √[2/(n+1)]
∵ lim(n->∞) √[2/(n+1)] = 0
∴ 由夹逼定理：lim(n->∞) [ n^(1/n) - 1 ] = 0
∴ lim(n->∞) n^(1/n) = 1