奇偶函数的加减乘除后的函数的奇偶性

题目

奇偶函数的加减乘除后的函数的奇偶性
奇加奇 奇加偶 偶加偶 奇减奇 奇减偶 偶减偶
奇乘奇 奇乘偶 偶乘偶 奇除奇 奇除偶 偶除偶
要全 要准确 要证明

答案

　　如果上述函数的定义域间的交集非空,且四则运算可以进行,则有如下结论：
　　奇乘奇、偶乘偶、奇除奇、偶除偶、偶加偶、偶减偶为偶；
　　奇加奇、奇减奇、奇除偶、奇乘偶为奇；
　　奇减偶、奇加偶为非奇非偶；
　　否则运算结果根本就不是函数,更别谈奇偶性了.
　　下面以奇乘奇为奇为例证明,其他类似,已知f(x)、g(x)为奇函数,定义域分别为M、N,且M∩N≠∅,求证：h(x)=f(x)g(x)为偶函数.
　　证明：∵f(x)、g(x)分别为定义在M、N上的奇函数且M∩N≠∅
　　 ∴h(x)=f(x)g(x)有意义且定义在x∈D=M∩N上,f(-x)=-f(x)、g(-x)=-g(x)
　　 ∴h(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)=h(x)
　　 ∴ h(x)=f(x)g(x)为定义在x∈D=M∩N上的偶函数