求曲线y=2x^2,y=x^2与y=1所围成的平面图形的面积

题目

求曲线y=2x^2,y=x^2与y=1所围成的平面图形的面积

答案

因为是对称图形,∴只需求x>0是的面积即可
此时该图形是由曲线x=√y,x=√(y/2),y=1围成
那么对y积分,∴该部分面积=∫[0,1](√y-√(y/2))dy
=∫[0,1](1-√2/2)√ydy
=(1-√2/2)(2/3)
=(2-√2)/3
∴所求平面图形面积=2(2-√2)/3