根号x+根号y小于等于K*根号（2x+y),对于任意的正实数x,y恒成立,求k的范围

题目

根号x+根号y小于等于K*根号（2x+y),对于任意的正实数x,y恒成立,求k的范围
难道没有人可以帮我解答一下吗

答案

此题用初等微积分甚易解,但不知提问者是何种水平,能否接受.
试解如下：
√x+√y≤k√(2x+y),因x,y是任意的正实数恒成立,故可引入一参量t,t亦为任意的正实数,且t=y/x,则上式化为：1+√t≤k√(2+t),令√t=a,a亦为任意的正实数,则k≥(a^2+2a+1)/(a^2+2),令f(a)=(a^2+2a+1)/(a^2+2),df(a)/da=1/a
亦即,函数f(a)=(a^2+2a+1)/(a^2+2)在a≥0区间内单调递增.故当a→+∞时,
f(a)趋近于最大值.a→+∞,limf(a)=1（数学符号打印得不标准,读者可以意会.）最终答案是k≥1