设x1，x2是方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，求（x1-1）2+（x2-1）2的最小值．

题目

设x₁，x₂是方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，求（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值．

答案

根据题意得△=4a²-4（a+6）≥0，即a²-a-6≥0，
∴（a-3）（a+2）≥0，
∴a≥3或a≤-2，
∵x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a+6，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²=x₁²+x₂²-2（x₁+x₂）+2
=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂-2（x₁+x₂）+2
=4a²-2（a+6）-4a+2
=4a²-6a-10
=4（a-

3

4

）²-

49

4

，
当a=3时，（x₁-1）²+（x₂-1）²=4×（3-

3

4

）²-

49

4

=8，
当a=-2时，（x₁-1）²+（x₂-1）²=4×（-2-

3

4

）²-

49

4

=18，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值为8．