过点P（2,1）的直线L与椭圆X^2/2+Y^2=1相交,求L被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.

题目

过点P（2,1）的直线L与椭圆X^2/2+Y^2=1相交,求L被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.

答案

直线L：y=k(x-2)+1;椭圆：X^2/2+Y^2=1,交点A（x1,y1),(x2,y2),中点（x0,y0);
L代入椭圆方程：(2k^2+1)x^2+4k(1-2k)x+8k(k-1)=0;
韦达定理：2x0=x1+x2=4k(2k-1)/(2k^2+1),2y0=yi+y2=2(1-2k)/(2k^2+1);两式相除：k=-1/2*x0/y0,代入2式化简即得中点方程：(y-1/2)^2/(3/4)+(x-1)^2/(3/2)=1,为一个平移后的椭圆.
P点是在给定椭圆的准线上的,应该有其他简便方法.