设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差（均方差）为2的正态分布，而Y服从标准正态分布． 试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数．

题目

设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差（均方差）为

2

的正态分布，而Y服从标准正态分布．
试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数．

答案

由已知X服从均值为1、标准差（均方差）为

2

的正态分布，
所以

X−1

2

～N（0，1），E（X）=1，D（X）=2；
由Y服从标准正态分布，
所以：Y～N（0，1），E（Y）=0，D（Y）=1；
又X、Y相互独立，由
正态分布的可加性和正态分布的线性函数依然服从正态，
得：Z=2X-Y+3依然服从正态分布，
由期望和方差的性质，可算得：
E（Z）=2E（X）-E（Y）+3=5，
D（Z）=4D（X）+D（Y）=9，
所以：Z～N（5，9），
即得Z的密度函数为：

1

3 2 π

e−

(z−5)2

18

．

利用由正态分布的可加性可知Z仍为正态分布，由方差和期望的性质可求得Z的分布函数，从而求得概率密度函数．

本题考点：概率密度的性质．

考点点评：本题主要考查概率密度的性质以及方差、期望的性质，属于基础题．