是否存在一个实数k，使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？

题目

是否存在一个实数k，使方程8x²+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？

答案

设直角三角形两个锐角为α，β，则sinα，sinβ是方程8x²+6kx+2k+1=0的两个根．
∵α+β=90°，∴sinβ=cosα
根与系数的关系，得

sinα+cosα＝− 3k 4 ① sinαcosα＝ 2k+1 8 ②

①²-2×②得9k²-8k-20=0
∴k₁=2，k₂=-

10

9

当k=2时变为8x²+12x+5=0，
△=144-160＜0
∴k=2舍去．
将k=-

10

9

代入②，得sinα•cosα=sinα•sinβ=-

11

72

，
∴sinα，sinβ异号，应有sinα＜0或sinβ＜0，实际上sinα＞0，sinβ＞0，
∴k=-

10

9

不满足题意，
∴k值不存在．

设直角三角形两个锐角为α，β，根据sinα，sinβ是方程的两个根据，根据韦达定理可知两根之和与两根之积，根据同角三角函数基本关系整理得9k²-8k-20=0，求得k的值，把k=2代入原方程求得判别式小于0，排除；把k═-

10

9

代入方程两根的积，结果小于不符合题意也排除，进而推断出k的值不存在．

本题考点：同角三角函数间的基本关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，和数学方程思想．考查了学生综合分析问题的能力．