是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦?
题目
是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦?
答案
设直角三角形两个锐角为α,β,则sinα,sinβ是方程8x
2+6kx+2k+1=0的两个根.
∵α+β=90°,∴sinβ=cosα
根与系数的关系,得
①
2-2×②得9k
2-8k-20=0
∴k
1=2,k
2=-
当k=2时变为8x
2+12x+5=0,
△=144-160<0
∴k=2舍去.
将k=-
代入②,得sinα•cosα=sinα•sinβ=-
,
∴sinα,sinβ异号,应有sinα<0或sinβ<0,实际上sinα>0,sinβ>0,
∴k=-
不满足题意,
∴k值不存在.
设直角三角形两个锐角为α,β,根据sinα,sinβ是方程的两个根据,根据韦达定理可知两根之和与两根之积,根据同角三角函数基本关系整理得9k
2-8k-20=0,求得k的值,把k=2代入原方程求得判别式小于0,排除;把k═-
代入方程两根的积,结果小于不符合题意也排除,进而推断出k的值不存在.
同角三角函数间的基本关系;一元二次方程的根的分布与系数的关系.
本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用,和数学方程思想.考查了学生综合分析问题的能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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