关于x的不等式x*2+ax-a+1>0在0

题目

关于x的不等式x*2+ax-a+1>0在0<=x<=1上恒成立,求实数a的取值范围

答案

x²+ax-a+1>0
a(x-1)>-(x²+1) ①
∵0≤x≤1
若x=1
①可化为：0>-2 恒成立
若0≤x<1,则x-1<0
①可化为：a<-(x²+1)/(x-1)
即：a<(x²+1)/(1-x)
而(x²+1)/(1-x)
=(x²-2x+1+2x-2+2)/(1-x)
=[(1-x)²-2(1-x)+2]/(1-x)
=(1-x)+2/(1-x)-2
令(1-x)=2/(1-x)
则1-x=√2
而0≤x<1
即0<1-x≤1
∴当1-x=1,即x=0时
(x²+1)/(1-x)有最小值(0²+1)/(1-0)=1
∴(x²+1)/(1-x)≥1
而a<(x²+1)/(1-x)在0≤x<1上恒成立
∴a<1
综上所述：实数a的取值范围是：a<1