已知函数f(x)=3x2-6x-5. (1)求不等式f(x)>4的解集; (2)设g(x)=f(x)-2x2+mx,其中m∈R,求g(x)在区间[l,3]上的最小值; (3)若对于任意的a∈[1,2]
题目
已知函数f(x)=3x2-6x-5.
(1)求不等式f(x)>4的解集;
(2)设g(x)=f(x)-2x2+mx,其中m∈R,求g(x)在区间[l,3]上的最小值;
(3)若对于任意的a∈[1,2],关于x的不等式f(x)≤x2-(2a+6)x+a+b在区间[1,3]上恒成立,求实数b的取值范围.
答案
(1)不等式 f(x)>4
即3x
2-6x-9>0
解得x>3,或x<-1
∴不等式 f(x)>4的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞)
(2)g(x)=f(x)-2x
2+mx=x
2+(m-6)x-5
其图象是开口朝上,且以x=
为对称轴的抛物线
当
>3,即m<0时,g(x)的最小值为g(3)=3m-14
当1≤
≤3,即0≤m≤4时,g(x)的最小值为g(
)=
当
<1,即m>4时,g(x)的最小值为g(1)=m-10
(3)若不等式f(x)<x
2-(2a+6)x+a+b在x∈[1,3]上恒成立,
即不等式2x
2+2ax-5-a-b<0在x∈[1,3]上恒成立,
令h(x)=2x
2+2ax-5-a-b
∵a∈[1,2],故h(x)图象的对称轴x=-
∈[-1,-
]
∴当x=3时,函数h(x)取最大值5a-b+13
故只须a∈[1,2]时,5a-b+13≤0恒成立即可;
即当a∈[1,2]时,b≥5a+13恒成立,
∴实数b的取值范围是[23,+∞)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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