若函数f(x)=根号下(a^2-1)x^2+(a-1)x+2/(a+1)的定义域为R,求实数a的取值范围

题目

若函数f(x)=根号下(a^2-1)x^2+(a-1)x+2/(a+1)的定义域为R,求实数a的取值范围
我在网上看到过的答案：
（1）当a² -1 = 0 时,即：a=1或a=-1 时
若a = 1 g（x）= 1 满足题意
若a = -1 g（x）没有意义（舍去）
（2） a² - 1 ≠0 时,若要满足题意,则必须：
a²-1＞0
△ ≤0
由此可得：1 < a ≤9
综上所述：1≤a≤9
但为什么当a²-1＞0 △ ≤0
(a^2-1)x^2+(a-1)x+2/(a+1)恒≥0

答案

因为当a²-1≠0时
有两种情况：、
①a²-1＜0,此时对于二次函数y=(a²-1)x²+(a-1)x+2/(a+1)图象的开口向下,函数必然会有 一部分小于0
②a²-1＞0,此时对于二次函数y=(a²-1)x²+(a-1)x+2/(a+1)图象的开口向上,要使y≥0恒成立,则y=0,无解或只有两个相同的解
故△≤0