如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F， 求证：DE=DF．

题目

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，
求证：DE=DF．

答案

证明：连接CD．
∵在Rt△ABC中，AD=BD．
∴CD=

1

2

AB=AD．
∵AC=BC．
∴∠A=45°．
∵PE⊥AC，PF⊥BC．
∴四边形PECF为矩形．
∴CF=PE=AE．
又∵CD=AD．
∴∠ACD=∠BCD=45°．
在△AED和△CFD中

AD＝CD ∠A＝∠DCF AE＝CF

，
∴△AED≌△CFD（SAS）．
∴DE=DF．

根据等腰三角形，直角三角形和中点的概念结合矩形的性质来证得△AED≌△CFD来，进而求解．

本题考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：解答此题的关键是作出辅助线，构造三角形全等来进行证明．