已知椭圆C的焦点分别为F1（-22，0）和F2（22，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．

题目

已知椭圆C的焦点分别为F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．

答案

设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由题意a=3，c=2

2

，
b=

a2−c2

=1．（3分）
∴椭圆C的方程为

x2

9

+y²=1．（5分）
联立方程组

y＝x+2 x2 9 +y2＝1

，消y得10x²+36x+27=0，
因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，（9分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

18

5

，
故线段AB的中点坐标为（-

9

5

，

1

5

）．（12分）

先求椭圆的方程，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，根据条件可知a=3，c=2

2

，同时求得b=

a2−c2

，得到椭圆方程，由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映．