柯西不等式怎么证明

柯西不等式怎么证明

题目
柯西不等式怎么证明
答案
看选修4-5第38页.
思路:令A=a1²+a2²+……+an²,B=b1²+b2²+……+bn²,C=a1b1+a2b2+……+anbn
作函数f(x)=Ax²+2Cx+B
如果能证明函数f(x)恒大于等于0,即f(x)的判别式Δ≤0,就得到4C²≤4AB,即柯西不等式得证.
而f(x)=(a1²x²+2a1b1x+b1²)+(a2²x²+2a2b2x+b2²)+……+(an²x²+2anbnx+bn²)
=(a1x+b1)²+(a2x+b2)²+……+(anx+bn)²
≥0
取“=”的条件:a1=a2=……=an=0,或b1=b2=……=bn=0;
或存在常数x使aix+bi=0,i=1,2,……,n
下面是我自己想的.
方法一:左边=(a1²+a2²+……+an²)(b1²+b2²+……+bn²)
右边=(a1b1+a2b2+……+anbn)²
分别展开,通项分别为
左边=ai²bi²+ai²bj²+aj²bi²+aj²bj²,1≤i<j≤n
右边=ai²bi²+2aibiajbj+aj²bj²,1≤i<j≤n
左边﹣右边=(aibj)²﹣2(aibj)(ajbi)+(ajbj)²=(aibj﹣ajbi)²≥0
取“=”的条件为ai=0(即aj=0)或bi=0(即bj=0)或ai:bi=aj:bj=const(即ai=kbi)
方法二:数学归纳法
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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