设随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)=xe∧-x(1+y),x>0,y>=0.0 其他,求Z=XY的概率密度

题目

设随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)=xe∧-x(1+y),x>0,y>=0.0 其他,求Z=XY的概率密度

答案

易知z0)Fz(z)=∫[0->+∞]dx∫[0->z/x] xe^(-x(1+y))dy=∫[0->+∞]xe^(-x) - xe^(-(z+x)) dx=-xe^(-x) | [0->+∞] - ∫[0->+∞]-e^(-x)dx - [(-xe^(-(z+x))) | [0->+∞] + ∫[0->+∞]e^(-(z+x))dx]=0+1-[0+e^(-z)]=1-...