如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点． （1）求证：AP∥平面MBD； （2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．

题目

如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．

（1）求证：AP∥平面MBD；
（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．

答案

（1）设AC∩BD=H，连接EH，
∵H为平行四边形ABCD对角线的交点，∴H为AC中点，
又∵M为PC中点，∴MH为△PAC中位线，
可得MH∥PA，
MH⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，
所以PA∥平面MBD．
（2）∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，
又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，
∴AD⊥平面PDB，结合BD⊂平面PDB，得AD⊥BD
∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD内的相交直线
∴BD⊥平面PAD．