一个数列的求和公式是等差数列的求和公式,如何证明这是等差数列,(所证明的数列是无穷数列)

题目

一个数列的求和公式是等差数列的求和公式,如何证明这是等差数列,(所证明的数列是无穷数列)
即一个数列的求和公式为Sn=[n(A1+An)]/2,如何证明它是等差数列啊

答案

2Sn=na1+nan
2Sn-1=(n-1)a1+(n-1)an-1
相减有(n-2)an=(n-1)an-1-a1
变形为(n-2)(an-a1)=(n-1)(an-1-a1)
(an-a1)/(an-1-a1)=(n-1)/(n-2)
则有(an-1-a1)/(an-2-a1)=(n-2)/(n-3)
(an-2-a1)/(an-3-a1)=(n-3)/(n-4)
.
(a4-a1)/(a3-a1)=3/2
(a3-a1)/(a2-a1)=2/1
所有等式相乘有(an-a1) /(a2-a1)=n-1 (中间项分母与后一项分子约去）
an-a1=(n-1))(a2-a1)
所以an-1-a1=(n-2)(a2-a1)
相减有an-an-1=a2-a1
任意两相邻项的差为a2-a1,而a2-a1为某一常数,所以{an}为等差数列