已知对一切正实数x,y 不等式(a-3)x+ay-4倍更号xy≥0恒成立,则实数a的最小值为?

题目

已知对一切正实数x,y 不等式(a-3)x+ay-4倍更号xy≥0恒成立,则实数a的最小值为?

答案

原不等式等价于 (x+y)*a≥3x+4√(xy) 恒成立
等价于 a≥(3x+4√(xy))/(x+y)
设y=k²x,k>0
等价于 a≥(3+4k)/(1+k²) 恒成立
等价于 1/a≤(k²+1)/(4k+3)=(12k+9)/16+25/(64k+48)-3/4 (这部就是恒等变形) 恒成立
因为(12k+9)/16+25/(64k+48)≥10√3/3 (利用a+b≥2√(ab))
1/a≤10√3/3-3/4
a≥(160√3+36)/1573
方法肯定没问题,时间充分不知算错没有