已知函数f(x)=ax2-2x+lnx (Ⅰ)若f(x)无极值点,但其导函数f′(x)有零点,求a的值; (Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于-3/2.

已知函数f(x)=ax2-2x+lnx (Ⅰ)若f(x)无极值点,但其导函数f′(x)有零点,求a的值; (Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于-3/2.

题目
已知函数f(x)=ax2-2x+lnx
(Ⅰ)若f(x)无极值点,但其导函数f′(x)有零点,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于-
3
2
答案
解 (Ⅰ)首先,x>0f/(x)=2ax−2+
1
x
2ax2−2x+1
x

f′(x)有零点而f(x)无极值点,表明该零点左右f′(x)同号,故a≠0,且2ax2-2x+1=0的△=0.由此可得a=
1
2

(Ⅱ)由题意,2ax2-2x+1=0有两不同的正根,故△>0,a>0.
解得:0<a<
1
2

设2ax2-2x+1=0的两根为x1,x2,不妨设x1<x2
因为在区间(0,x1),(x2,+∞)上,f′(x)>0,
而在区间(x1,x2)上,f′(x)<0,故x2是f(x)的极小值点.
因f(x)在区间(x1,x2)上f(x)是减函数,如能证明f(
x1+x2
2
)<−
3
2
,则更有f(x2)<−
3
2

由韦达定理,
x1+x2
2
1
2a
f(
1
2a
)=a(
1
2a
)2−2(
1
2a
)+ln
1
2a
=ln
1
2a
3
2
1
2a

1
2a
=t
,其中设g(t)=lnt−
3
2
t+
3
2

利用导数容易证明g(t)当t>1时单调递减,而g(1)=0,
∴g(t)=lnt-
3
2
t+
3
2
<0,
因此f(
1
2a
)<-
3
2

从而有f(x)的极小值f(x2)<-
3
2
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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