判断函数f(x)=x-1/x在区间(0,+∞)上的单调性,并用函数单调性的定义加以证明.

判断函数f(x)=x-1/x在区间(0,+∞)上的单调性,并用函数单调性的定义加以证明.

题目
判断函数f(x)=x-
1
x
答案
函数f(x)=x-
1
x
在区间(0,+∞)上的单调性是单调增函数.
证明如下:设0<x1x2<+∞
则有f(x2)−f(x1)=x2
1
x2
−(x1
1
x1
)=(x2x1)+(
1
x1
1
x2
)
-f(x1)=x2-
1
x2
-x1+
1
x1

=(x2x1)+(
x2x1
x1x2
)=(x2x1)(1+
1
x1x2
)=(x2x1)(
x1x2+1
x1x2
)
1+x1x2
x1x2

∵0<x1<x2<+∞,x2-x1>0且x1x2+1>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2).
所以函数y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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