判断函数f（x）=x-1/x在区间（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．

题目

判断函数f（x）=x-

1

x

答案

函数f（x）=x-

1

x

在区间（0，+∞）上的单调性是单调增函数．
证明如下：设0＜x1＜x2＜+∞，
则有f（x2)−f(x1)＝x2−

1

x2

−(x1−

1

x1

)＝(x2−x1)+(

1

x1

−

1

x2

)-f（x₁）=x₂-

1

x2

-x₁+

1

x1

=（x2−x1)+(

x2−x1

x1•x2

)＝(x2−x1)(1+

1

x1•x2

)＝(x2−x1)(

x1x2+1

x1•x2

)

1+x1x2

x1x2

．
∵0＜x₁＜x₂＜+∞，x₂-x₁＞0且x₁x₂+1＞0，x₁x₂＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．