在半径为根号3、圆心角为60°的扇形OAB的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使Q在OA上,NM在OB上

题目

在半径为根号3、圆心角为60°的扇形OAB的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使Q在OA上,NM在OB上
设矩形PNMQ的面积为Y.1.设PN=x,将Y表示成x的函数关系式；2.设角POB=a,将Y表示成a的函数关系式.

答案

⑴在RTΔOMQ中,MQ=PN=X,∠O=60°,
∴OM=MQ/√3=√3/3*X,
连接OP,在RTΔOPN中,OP=√3,PN=X,
∴ON=√(OP^2-PN^2)=√(3-X^2)
∴MN=ON-OM=√(3-X^2)-√3/3X.
∴Y=PN*MN=X√(3-X^2)-√3/3X^2.
⑵在RTΔOPN中,
PN=OP*sinα=√3sinα,ON=OP*cosα=√3cosα,
在RTΔOMQ中,MQ=PN=√3sinα,
∴OM=MQ/√3=sinα,
∴MN=√3cosα-sinα,
∴Y=√3sinα(√3cosα-sinα).