已知函数f(x)满足af(x)+bf(1／x)=c／x,其中a,b,c为常数,且|a|≠|b|,求f′﹙x﹚.

题目

已知函数f(x)满足af(x)+bf(1／x)=c／x,其中a,b,c为常数,且|a|≠|b|,求f′﹙x﹚.

答案

式1：af(x)+bf(1/x)=c/x
取x=1/x,得
式2：bf(x)+af(1/x)=cx
式1等式两边同时取导：
式3：af‘(x)-bf’(1/x)（1/x²）=-c/x²
式2等式两边同时取导：
式4：bf‘(x)-af’(1/x)（1/x²）=c
现在要消去f’(1/x),所以,由式3*a-式4*b得
(a²-b²)f'(x)=-c/x²-c
由于|a|≠|b|,所以a²-b²≠0
得f'(x)=-(c/x²+c)/(a²-b²)