已知不等式1n+1+1n+2+…+12n>a对一切大于1的自然数n都成立,则a的取值范围是( ) A.(−∞,13] B.(−∞,12] C.(−∞,712) D.(-∞,0]
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已知不等式1n+1+1n+2+…+12n>a对一切大于1的自然数n都成立,则a的取值范围是( ) A.(−∞,13] B.(−∞,12] C.(−∞,712) D.(-∞,0]
题目
已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
>a
答案
设设
f(n)=
1
n+1
+…+
1
2n
,则
f(n+1)=
1
n+2
+…+
1
2n
+
1
2n+1
+
1
2(n+1)
,
则
f(n+1)−f(n)=
1
2n+1
+
1
2(n+1)
−
1
n+1
=
1
2n+1
−
1
2(n+1)
=
1
2n+1
−
1
2n+2
>0
,
所以数列f(n)是关于n(n∈N,n≥2)的递增数列,
所以f(n)≥f(2)=
1
2+1
+
1
2+2
=
1
3
+
1
4
=
7
12
,
所以要使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
>a
对一切大于1的自然数n都成立,所以a
<
7
12
.
故选C.
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