用极坐标计算二重积分：∫∫e∧((x∧2)+(y∧2))dxdy　,其中积分区域D={(x,y)|(x∧2)+(y∧2)

题目

用极坐标计算二重积分：∫∫e∧((x∧2)+(y∧2))dxdy　,其中积分区域D={(x,y)|(x∧2)+(y∧2)

答案

x=ρcosθ
y=ρsinθ
∫∫e^(x²+y²)dxdy
=∫(0→2π)dθ∫(0→2)e^(ρ²)ρdρ
=π∫(0→2)e^(ρ²)dρ²
=πe^(ρ²)|(0→2)
=π(e⁴-1)