已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象（如图所示）过点M（1-2，0），N（1+2，0），P（0，k）三点．若△MNP的直角三角形，且∠P=90°，求a，b，c的值．

题目

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象（如图所示）过点M（1-

2

，0），N（1+

2

，0），P（0，k）三点．若△MNP的直角三角形，且∠P=90°，求a，b，c的值．

答案

∵△MPN为直角三角形，
∴PM²+PN²=MN²，
∴（1+

2

）+k²+（1-

2

）²+k²=[1+

2

-（1-

2

）]²，
解得k=±1，
∵k＜0，
∴k=-1．
∵抛物线过M，N两点，
设抛物线的关系式为：y=a（x-1-

2

）（x-1+

2

），
将（0，-1）代入得，
-1=a（-1-

2

）（-1+

2

），
∴a=1，
∴y=（x-1-

2

）（x-1+

2

），
∴y=x²-2x-1，
∴a=1，b=-2，c=-1．

根据M、N、P的坐标，首先表示出PM²、PN²、MN²的值，由于∠P=90°，利用勾股定理即可求得k的值，从而得到点P的坐标，进而可利用待定系数法求出该抛物线的解析式，也就确定了a、b、c的值．

本题考点：二次函数综合题

考点点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定，还涉及到勾股定理的应用，属于基础知识，难度不大．