定义域在R上的函数满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(0)≠0 f(1/2)=0 求:f(x)为偶函数 周期函数 f(1/3) f(1/6

题目

定义域在R上的函数满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(0)≠0 f(1/2)=0 求:f(x)为偶函数 周期函数 f(1/3) f(1/6
求证f(x)为偶函数 f(x)为周期函数 若函数在[0，1]内单调 求f(1/3)=?f(1/6)=?

答案

令x=0,y=0
f(0)+f(0)=2f(0)*f(0)
f(0)=1
令x=0
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
f(-y)=f(y)所以f为偶函数
令y=1/2
f(x+1/2)+f(x-1/2)=2f(x)f(1/2)=0
-f（x+1/2）=f（x-1/2）=-f（x-3/2）
所以2是周期
令x=1/2,y=1/2
f （1）+f(0)=2f(1/2)*f(1/2)=0
f(1)=-1
x=y=1/3
f（2/3）+f(0)=2f(1/3)f(1/3)
把f（2/3）=m,f（1/3）=n
m+1=2mm
令x=2/3,y=1/3
f（1）+f(1/3)=2f(2/3)f(1/3)
n-1=2mn
求出方程
m、n
f（1/3）+f（0）=2f（1/6）f（1/6）
从而求出f（1/6）
自己解下方程吧