已知f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.求证：y=f(x)为偶函数

题目

已知f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.求证：y=f(x)为偶函数

答案

令 x=y=0
代入 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
得 f(0)+f(0)=2f(0)f(0)
所以 f(0)=1
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
令x=0
得
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
就是
f(y)=f(-y)
所以
y=f(x)为偶函数