如何判定空间向量共面

题目

如何判定空间向量共面

答案

3维空间中的3个向量a,b,c可以构成一个顶点在坐标系原点的四面体的3个棱.
这个四面体的体积可以表示成 |(a X b)c|,其中,a X b 表示3维向量之间的叉积运算,运算的结果是一个和向量a,b都垂直的3维向量.
(a X b)c表示a,b的叉积[向量]和向量c之间的点积运算.2个向量之间的点积运算的结果是一个标量.| |是对一个标量取绝对值的运算.
显然,3个3维向量共面时,和它们对应的四面体的体积应该为0.
因此,
(a X b)c = 0
可以作为3个3维向量a,b,c共面的1个判定条件.
实际上,设3阶矩阵A的3个行分别为a,b,c.
则
A的行列式 = (a X b)c
所以,一般用矩阵A的行列式是否为零来判断3个向量a,b,c是否共面.
对于N维(N>3)空间中的向量来说,向量共面一般描述为向量属于同一个低维的子空间.
由于N维空间的低维子空间的维数可以是1到N-1之间的任何一个数.所以,N维空间中的所谓超平面就不止1个了.
这个时候,要描述向量共一个超平面,或者说向量属于同一个低维的子空间,就可以利用楼上说的方法.
假设要讨论的N维(N>3)空间的低维的子空间的维数为 n.1