设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点(−2,0),(2/3,0),如图所示, (1)求f(x)的解析式; (2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-1
题目
设f(x)=ax
3+bx
2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点
(−2,0),(,0),如图所示,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m
2-14m恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)∵f'(x)=3ax
2+2bx+c,且y=f'(x)的图象经过点(-2,0),
(,0),
∴
⇒∴f(x)=ax
3+2ax
2-4ax,
由图象可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在
(−2,)上单调递增,在
(,+∞)上单调递减,
由f(x)
极小值=f(-2)=a(-2)
3+2a(-2)
2-4a(-2)=-8,解得a=-1
∴f(x)=-x
3-2x
2+4x
(2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m
2-14m恒成立,
只需f(x)
min≥m
2-14m即可.
由(1)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上单调递减,在
(−2,)上单调递增,在
(,3]上单调递减
且f(-2)=-8,f(3)=-3
3-2×3
2+4×3=-33<-8
∴f(x)
min=f(3)=-33(11分)-33≥m
2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.
(1)求出y=f'(x),因为导函数图象经过(-2,0)和(
,0),代入即可求出a、b、c之间的关系式,再根据图象可知函数的单调性,而f(x)极小值为-8可得f(-2)=-8,解出即可得到a、b、c的值;
(2)根据函数增减性求出函数在区间[-3,3]的最小值大于等于m
2-14m,即可求出m的范围.
利用导数研究函数的极值;函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题.
考查学生会用待定系数法求函数的解析式,会利用导数求函数极值,理解函数恒成立时所取的条件.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 在"口"添两笔
- .讨论:作者写三峡四季景色时,为何没有按春、夏、秋、冬的时间顺序,而先写夏季景色.
- 水形成旋涡是怎么回事
- 下面三个词,其中两个音节之间要用隔音符号的是( )
- 单项式,2x的2次方,5x,-3x的2次方,4的和为
- 有关岳阳楼的诗词
- 分数是20分只17,分数和百分数是多少
- is,healthy,it,food and drink,to have,important,(连词成句)
- 因式分解2X平方-20X+50
- SHE IS LOST AND HER PARENTS ARE REALLY ___HER.A:AFRAID OF B:WORRIED ABOUT 是不是选B呢/
热门考点