设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0处取得极值． （1）求a的值及函数f（x）的单调区间； （2）证明对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）．

题目

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0处取得极值．
（1）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）证明对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）．

答案

（1）∵f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，∴f'（x）=ln（x+1）+1-a，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f'（0）=0，∴a=1，故f'（x）=ln（x+1），当x+1＞1，即x＞0时，f'（x）＞0，当0＜x+1＜1，即-1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f...

（1）由f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，知f'（x）=ln（x+1）+1-a，由f（x）在x=0处取得极值，知f'（0）=0，由此能求出a的值及函数f（x）的单调区间．
（2）当n=1时，左边=0，右边=0，0≥0成立；当n=2时，左边=2ln2=ln4，右边=ln3，ln4≥ln3成立；当n≥3时，原不等式等价于

lnn

n−1

≥

ln(n+1)

n

，由此能够证明对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）都成立．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．