证明:柯西极限存在准则:

题目

证明:柯西极限存在准则:
数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数e,存在着这样的正整数N,使得m>N,n>N时,就有
(Xm-Xn)的绝对值

答案

充分性：Cauchy列（基本列）收敛
证明：
1、首先证明Cauchy列有界
取e=1,根据Cauchy列定义,取自然数N,当n>N时有c
|a(n)-a(N)|N时,我们有
|a(n)-A|=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|